19. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Решение:

Пусть четырёхзначное число состоит из цифр a, b, c, d. Число можно записать как \( 1000a + 100b + 10c + d \).

Условие задачи:

1. Число кратно 19: \( 1000a + 100b + 10c + d = 19k \) для некоторого целого k.

2. Сумма цифр на 1 больше их произведения: \( a + b + c + d = abcd + 1 \).

Найдём число, удовлетворяющее второму условию. Будем перебирать цифры. Если одна из цифр равна 0, то произведение равно 0, и сумма цифр равна 1. Это возможно, если одна цифра равна 1, а остальные — 0. Но число должно быть четырёхзначным, поэтому все цифры не могут быть нулями. Если одна цифра 1, а три — 0, то число трёхзначное или меньше. Например, 1000. Сумма = 1, произведение = 0. 1 = 0 + 1. Но 1000 не кратно 19.

Рассмотрим случай, когда нет нулей. Если одна из цифр равна 1, например a=1:

\[ 1 + b + c + d = bcd + 1 \]

\[ b + c + d = bcd \]

Если \( b=1, c=2, d=3 \): \( 1+2+3 = 6 \), \( 1 \times 2 \times 3 = 6 \). Условие выполнено. Цифры 1, 2, 3, 1.

Число может быть составлено из этих цифр: 1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211.

Проверим, какое из этих чисел кратно 19:

• 1123 / 19 = 59.1...
• 1132 / 19 = 59.5...
• 1213 / 19 = 63.8...
• 1231 / 19 = 64.7...
• 1312 / 19 = 69.05...
• 1321 / 19 = 69.5...
• 2113 / 19 = 111.2...
• 2131 / 19 = 112.1...
• 2311 / 19 = 121.6...
• 3112 / 19 = 163.7...
• 3121 / 19 = 164.2...
• 3211 / 19 = 169

Число 3211 кратно 19. Проверим сумму и произведение цифр: \( 3 + 2 + 1 + 1 = 7 \), \( 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6 \). \( 7 = 6 + 1 \).

Ответ: 3211