19. Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 2 и все цифры в записи которого чётные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Найдём число, которое делится на 4, 5 и 6 с остатком 2.

Для этого сначала найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 5 и 6.

Разложим числа на простые множители:

• $$4 = 2^2$$
• $$5 = 5$$
• $$6 = 2 \times 3$$

НОК(4, 5, 6) = $$2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$$.

Число, которое при делении на 4, 5 и 6 дает остаток 2, имеет вид $$60k + 2$$, где $$k$$ - целое число.

2. Ищем трёхзначное число.

Переберём значения $$k$$, чтобы получить трёхзначное число:

• Если $$k=1$$, то $$60 \times 1 + 2 = 62$$ (двузначное).
• Если $$k=2$$, то $$60 \times 2 + 2 = 122$$.
• Если $$k=3$$, то $$60 \times 3 + 2 = 182$$.
• Если $$k=4$$, то $$60 \times 4 + 2 = 242$$.
• Если $$k=5$$, то $$60 \times 5 + 2 = 302$$.
• Если $$k=6$$, то $$60 \times 6 + 2 = 362$$.
• Если $$k=7$$, то $$60 \times 7 + 2 = 422$$.
• ...
• Если $$k=16$$, то $$60 \times 16 + 2 = 960 + 2 = 962$$.
• Если $$k=17$$, то $$60 \times 17 + 2 = 1020 + 2 = 1022$$ (четырёхзначное).

3. Проверяем, чтобы все цифры были чётными.

Рассмотрим числа, полученные на предыдущем шаге:

• 122: цифра 1 нечётная.
• 182: цифра 1 нечётная.
• 242: все цифры (2, 4, 2) чётные. Это подходящее число.
• 302: цифра 3 нечётная.
• 362: цифра 3 нечётная.
• 422: все цифры (4, 2, 2) чётные. Это подходящее число.
• ...
• 962: цифра 9 нечётная.

Мы нашли несколько подходящих чисел (242, 422, 602, 842). Нам нужно указать любое одно.

Ответ: 242