21. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке равны 15, 18 и 24. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

1. Обозначим площади и стороны:

Пусть стороны большого прямоугольника равны $$A$$ и $$B$$. Разрезы делят эти стороны на части. Пусть первый разрез делит сторону $$A$$ на $$a_1$$ и $$a_2$$, а второй разрез делит сторону $$B$$ на $$b_1$$ и $$b_2$$.

Площади четырёх маленьких прямоугольников будут:

• Верхний левый: $$a_1 \times b_1$$
• Верхний правый: $$a_2 \times b_1$$
• Нижний правый: $$a_2 \times b_2$$
• Нижний левый: $$a_1 \times b_2$$

2. Запишем известные площади:

По условию, начиная с левого верхнего и по часовой стрелке, площади равны 15, 18, 24.

• $$a_1 \times b_1 = 15$$
• $$a_2 \times b_1 = 18$$
• $$a_2 \times b_2 = 24$$

Нужно найти площадь четвёртого прямоугольника: $$a_1 \times b_2$$.

3. Используем свойство пропорциональности площадей:

Отношение площадей смежных прямоугольников, разделенных одной стороной, равно отношению их длин по другой стороне.

Рассмотрим верхние прямоугольники: $$\frac{a_1 \times b_1}{a_2 \times b_1} = \frac{a_1}{a_2}$$.

Рассмотрим нижние прямоугольники: $$\frac{a_1 \times b_2}{a_2 \times b_2} = \frac{a_1}{a_2}$$.

Следовательно, $$\frac{15}{18} = \frac{a_1}{a_2}$$. Упростим дробь: $$\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$$. Значит, $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{6}$$.

Теперь рассмотрим правые прямоугольники: $$\frac{a_2 \times b_1}{a_2 \times b_2} = \frac{b_1}{b_2}$$.

Рассмотрим левые прямоугольники: $$\frac{a_1 \times b_1}{a_1 \times b_2} = \frac{b_1}{b_2}$$.

Следовательно, $$\frac{18}{24} = \frac{b_1}{b_2}$$. Упростим дробь: $$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$. Значит, $$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{4}$$.

4. Найдем неизвестную площадь.

Мы ищем площадь $$S_4 = a_1 \times b_2$$.

Из соотношений мы имеем:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{6} \implies a_1 = \frac{5}{6} a_2$$

$$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{4} \implies b_2 = \frac{4}{3} b_1$$

Теперь подставим это в выражение для неизвестной площади:

$$S_4 = a_1 \times b_2 = (\frac{5}{6} a_2) \times (\frac{4}{3} b_1) = \frac{5 \times 4}{6 \times 3} \times (a_2 \times b_1) = \frac{20}{18} \times (a_2 \times b_1)$$

Мы знаем, что $$a_2 \times b_1 = 18$$.

$$S_4 = \frac{20}{18} \times 18 = 20$$.

Другой способ:

Можно заметить, что произведение площадей противоположных прямоугольников равно:

$$(a_1 \times b_1) \times (a_2 \times b_2) = (a_1 \times b_2) \times (a_2 \times b_1)$$

Подставим известные значения:

$$15 \times 24 = S_4 \times 18$$

$$360 = S_4 \times 18$$

$$S_4 = \frac{360}{18} = 20$$.

Ответ: 20