19. Найдите значение выражения (√2-1)√4+√9-4√2.

Решение:

Рассмотрим выражение под вторым квадратным корнем: \( 4 + \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} \).

Попробуем представить \( 9 - 4\sqrt{2} \) как квадрат разности \( (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{2} + 2b^2 \) или \( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \).

Заметим, что \( 4\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \).

Представим \( 9 - 4\sqrt{2} \) как \( a - 2\sqrt{b} \) или \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy} \).

Ищем \( x+y = 9 \) и \( xy = (2\sqrt{2})^2 = 8 \).

Числа 1 и 8 удовлетворяют этим условиям.

Таким образом, \( 9 - 4\sqrt{2} = (\sqrt{8} - \sqrt{1})^2 = (2\sqrt{2} - 1)^2 \).

Тогда \( \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} - 1)^2} = |2\sqrt{2} - 1| \).

Так как \( 2\sqrt{2} = \sqrt{8} \) и \( \sqrt{8} > 1 \), то \( 2\sqrt{2} - 1 > 0 \). Следовательно, \( |2\sqrt{2} - 1| = 2\sqrt{2} - 1 \).

Теперь подставим это обратно:

\[ 4 + \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} = 4 + (2\sqrt{2} - 1) = 3 + 2\sqrt{2} \]

Теперь рассмотрим всё выражение:

\[ (\sqrt{2} - 1) \sqrt{4 + \sqrt{9 - 4\sqrt{2}}} = (\sqrt{2} - 1) \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \]

Представим \( 3 + 2\sqrt{2} \) как квадрат суммы \( (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy} \).

Ищем \( x+y = 3 \) и \( xy = 2 \).

Числа 1 и 2 удовлетворяют этим условиям.

Таким образом, \( 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 \).

Тогда \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1 \) (так как \( \sqrt{2} + 1 > 0 \)).

Подставляем обратно в исходное выражение:

\[ (\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) \]

Это разность квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

\[ (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \]

Ответ: а) 1.