21. Упростите выражение 7cos²a + tgactga +7 sin² a.

Решение:

Данное выражение:

\[ 7\cos^2\alpha + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha + 7\sin^2\alpha \]

Сначала упростим произведение \( \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha \).

Вспомним определения тангенса и котангенса:

\[ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \]\[ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \]

При условии, что \( \sin\alpha \neq 0 \) и \( \cos\alpha \neq 0 \) (то есть \( \alpha \neq \frac{\pi k}{2} \) для целого \( k \)), получаем:

\[ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1 \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ 7\cos^2\alpha + 1 + 7\sin^2\alpha \]

Сгруппируем слагаемые с \( \cos^2\alpha \) и \( \sin^2\alpha \):

\[ (7\cos^2\alpha + 7\sin^2\alpha) + 1 \]

Вынесем общий множитель 7:

\[ 7(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + 1 \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \).

\[ 7(1) + 1 = 7 + 1 = 8 \]

Ответ: б) 8.