19. Решите уравнение: х⁴ – 2х² – 15 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 2y - 15 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \):

1) \( x^2 = y_1 = 5 \)

\( x = \pm \sqrt{5} \)

2) \( x^2 = y_2 = -3 \)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни уравнения: \( \sqrt{5} \) и \( -\sqrt{5} \).

Ответ: \( \pm \sqrt{5} \)