19. Решите уравнение \(\log_5\frac{x}{2}=\log_{0,2}(x+1)\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Область определения: \(x>0\). Поскольку \(0{,}2=\frac15\), имеем \(\log_{0,2}(x+1)=-\log_5(x+1)\).

Тогда \(\log_5\frac{x}{2}=-\log_5(x+1)=\log_5\frac{1}{x+1}\). Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт \(\frac{x}{2}=\frac{1}{x+1}\).

Умножаем на \(2(x+1)\): \(x(x+1)=2\), то есть \(x^2+x-2=0\). Факторизация: \((x+2)(x-1)=0\), поэтому возможны \(x=-2\) и \(x=1\).

Условию \(x>0\) удовлетворяет только \(x=1\).

Ответ: 1