19. Точка M — середина стороны BC прямоугольника ABCD, MA ⟂ MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим AB = CD = a, а BC = AD = b. Возьмём координаты: A(0; 0), B(a; 0), C(a; b), D(0; b). Тогда M — середина BC, поэтому M(a; b/2).

Перпендикулярность MA и MD означает, что скалярное произведение векторов AM и DM равно нулю: \(a^2-\frac{b^2}{4}=0\). Так как стороны прямоугольника положительны, получаем \(b=2a\).

Из периметра: \(2(a+b)=36\), значит \(a+b=18\). Подставим \(b=2a\): \(3a=18\), откуда \(a=6\) см и \(b=12\) см.

Ответ: 6 см и 12 см.