20. Периметр прямоугольника ABCD равен 30 см. Биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, принадлежащей стороне BC. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим AB = CD = a, BC = AD = b. В прямоугольнике биссектриса угла A образует с AB угол 45°. Дойдя до BC, она проходит по горизонтали и вертикали одинаковые расстояния, поэтому для точки M на BC получаем BM = a.

Биссектриса угла D также образует углы по 45°. Поскольку она пересекает BC в той же точке M, расстояние от M до C равно a. Следовательно, BC = BM + MC = 2a, то есть b = 2a.

Из периметра \(2(a+b)=30\), поэтому \(a+b=15\). Подставляем \(b=2a\): \(3a=15\), откуда \(a=5\) см и \(b=10\) см.

Ответ: AB = CD = 5 см, BC = AD = 10 см.