19. Водопроводная система из города А в город В построена по схеме: из города А, не отступая от прямого пути, проведён водопровод до озера, а из озера, образуя прямой угол с первым водопроводом, проведён до города В. Найдите длину водопровода из города А в город В, если расстояние между городами А и В равно 50 км, а расстояние от города А до озера равно 30 км.

Решение:

Условие задачи описывает прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — расстояние между городами А и В, \( AB = 50 \) км.
• Один катет — расстояние от города А до озера, \( AO = 30 \) км.
• Второй катет — расстояние от озера до города В, \( OB \).

Водопровод состоит из двух частей: от А до озера (AO) и от озера до В (OB).

Найдем длину катета OB, используя теорему Пифагора \( AO^2 + OB^2 = AB^2 \):

\( 30^2 + OB^2 = 50^2 \)

\( 900 + OB^2 = 2500 \)

\( OB^2 = 2500 - 900 \)

\( OB^2 = 1600 \)

\( OB = \sqrt{1600} \)

\( OB = 40 \) км.

Общая длина водопровода равна сумме длин отрезков AO и OB:

\( \text{Общая длина} = AO + OB = 30 + 40 = 70 \) км.

Ответ: 70 км.