19. Вычислите √9-4√5+√14-6√5

Решение:

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: \( \sqrt{9-4\sqrt{5}} \). Чтобы извлечь корень из выражения вида \( \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} \), нужно представить \( 4\sqrt{5} \) как \( 2\sqrt{20} \).

\( \sqrt{9-2\sqrt{20}} \). Ищем два числа, сумма которых равна 9, а произведение — 20. Это числа 4 и 5.

\( \sqrt{9-2\sqrt{20}} = \sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5} \) (выбираем \( \sqrt{4} \) как большее, чтобы результат был положительным).

Второе слагаемое: \( \sqrt{14-6\sqrt{5}} \). Представим \( 6\sqrt{5} \) как \( 2\sqrt{9 \cdot 5} = 2\sqrt{45} \).

\( \sqrt{14-2\sqrt{45}} \). Ищем два числа, сумма которых равна 14, а произведение — 45. Это числа 9 и 5.

\( \sqrt{14-2\sqrt{45}} = \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5} \) (выбираем \( \sqrt{9} \) как большее).

Складываем полученные результаты:

\( (2 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 5 \).

Ответ: 5