21. Упростите выражение (√m / (n - √mn)) + (√n / (m - √mn)) * (√mn / (√n + √m))

Решение:

Сначала упростим выражение в первых скобках:

\( \frac{\sqrt{m}}{n - \sqrt{mn}} + \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{m}}{n - \sqrt{m}\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{m}\sqrt{n}} \)

Вынесем \( \sqrt{n} \) из знаменателя первой дроби и \( \sqrt{m} \) из знаменателя второй дроби:

\( = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} \)

Приведём к общему знаменателю \( \sqrt{m}\sqrt{n}(\sqrt{m} - \sqrt{n}) \).

\( = \frac{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{n} - \sqrt{m}) \cdot \sqrt{m}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} + \frac{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}(\sqrt{n} - \sqrt{m})}{\sqrt{m}(\sqrt{m} - \sqrt{n}) \cdot \sqrt{n}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} \)

Заметим, что \( \sqrt{n} - \sqrt{m} = -(\sqrt{m} - \sqrt{n}) \). Изменим знак в знаменателе и числителе первой дроби:

\( = \frac{-m(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{-\sqrt{m}\sqrt{n}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} + \frac{n(\sqrt{n} - \sqrt{m})}{\sqrt{m}\sqrt{n}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} \)

\( = \frac{-m}{-\sqrt{mn}} + \frac{n(\sqrt{n} - \sqrt{m})}{\sqrt{mn}(\sqrt{m} - \sqrt{n})} \)

\( = \frac{m}{\sqrt{mn}} + \frac{n}{- \sqrt{mn}} = \frac{m-n}{\sqrt{mn}} \)

Теперь умножим на вторую дробь \( \frac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n} + \sqrt{m}} \):

\( \frac{m-n}{\sqrt{mn}} \cdot \frac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n} + \sqrt{m}} = \frac{m-n}{\sqrt{n} + \sqrt{m}} \)

Используем формулу разности квадратов \( m-n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) \):

\( = \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{\sqrt{n} + \sqrt{m}} = \sqrt{m} - \sqrt{n} \).

Ответ: \( \sqrt{m} - \sqrt{n} \)