23. Упростите выражение (1/√y - 2/√x+√y) : (√x - (x+y)/√x+√y)

Решение:

Сначала упростим первое выражение в скобках:

\( \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y} - 2\sqrt{y}}{(\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y} \).

Теперь упростим второе выражение в скобках:

\( \sqrt{x} - \frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - (x+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{x+\sqrt{xy} - x - y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \).

Теперь выполним деление:

\( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} : \frac{\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}-y} \)

\( = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{xy}-y)} \)

Разложим знаменатель \( \sqrt{xy}-y = \sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \).

\( = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{y}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{y(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{1}{y} \).

Ответ: \( \frac{1}{y} \)