19. Задумали трёхзначное число, которое делится на 28. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 45. Какое число было задумано?

Пояснение:

Пусть задуманное трёхзначное число будет представлено как 100a + 10b + c, где a - цифра сотен, b - цифра десятков, c - цифра единиц. a, b, c - целые числа от 0 до 9, при этом a ≠ 0.

Условия задачи:

1. Число 100a + 10b + c делится на 28.
2. Число, полученное перестановкой цифр десятков и единиц, равно 100a + 10c + b.
3. Разность между задуманным числом и числом с переставленными цифрами равна 45:

\[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 45 \]

Решение:

1. Упростим уравнение разности:

\[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 45 \]

\[ (100a - 100a) + (10b - b) + (c - 10c) = 45 \]

\[ 0 + 9b - 9c = 45 \]

\[ 9(b - c) = 45 \]

Разделим обе части на 9:

\[ b - c = 5 \]

Это означает, что разница между цифрой десятков и цифрой единиц равна 5. Возможные пары (b, c):

• (5, 0)
• (6, 1)
• (7, 2)
• (8, 3)
• (9, 4)

2. Теперь учтем первое условие: задуманное число делится на 28.

Число 28 = 4 × 7. Значит, число должно делиться и на 4, и на 7.

Признак делимости на 4: Последние две цифры числа (10b + c) должны образовывать число, делящееся на 4.

Признак делимости на 7: нет простого признака для трёхзначного числа, поэтому будем проверять варианты.

Проверим возможные значения b и c из условия b - c = 5, чтобы число 10b + c делилось на 4:

• Если (b, c) = (5, 0), то 10b + c = 50. 50 не делится на 4.
• Если (b, c) = (6, 1), то 10b + c = 61. 61 не делится на 4.
• Если (b, c) = (7, 2), то 10b + c = 72. 72 делится на 4 (72 = 4 × 18). Это возможная пара!
• Если (b, c) = (8, 3), то 10b + c = 83. 83 не делится на 4.
• Если (b, c) = (9, 4), то 10b + c = 94. 94 не делится на 4.

Итак, единственная пара (b, c), которая удовлетворяет обоим условиям (b - c = 5 и 10b + c делится на 4), это (b=7, c=2).

Теперь мы знаем, что задуманное число имеет вид 100a + 70 + 2, то есть 100a + 72.

Третье условие: число 100a + 72 должно делиться на 28.

Число 28 = 4 × 7. Мы уже знаем, что 72 делится на 4, поэтому 100a + 72 будет делиться на 4. Нам нужно проверить делимость на 7.

Переберем возможные значения a (от 1 до 9):

• Если a = 1: Число = 172. 172 ÷ 28 ≈ 6.14 (не делится).
• Если a = 2: Число = 272. 272 ÷ 28 ≈ 9.71 (не делится).
• Если a = 3: Число = 372. 372 ÷ 28 ≈ 13.28 (не делится).
• Если a = 4: Число = 472. 472 ÷ 28 ≈ 16.85 (не делится).
• Если a = 5: Число = 572. 572 ÷ 28 = 20.42 (не делится).
• Если a = 6: Число = 672. 672 ÷ 28 = 24. Это число делится на 28!

Найденное число: a=6, b=7, c=2. Задуманное число: 672.

Проверка:

• Задуманное число: 672. Делится ли на 28? 672 / 28 = 24. Да.
• Переставим цифры десятков и единиц: 627.
• Вычтем: 672 - 627 = 45. Да.

Ответ: Задуманное число было 672.