191. Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD ∥ BC, AB = CD.

а) Опустим из B и C перпендикуляры на AD, обозначив основания перпендикуляров E и F. Четырёхугольник EBCF — прямоугольник, поэтому EF = BC и BE = CF. Поскольку AD − EF = AE + FD, а прямоугольные треугольники ABE и DCF имеют равные гипотенузы AB = CD и равные катеты BE = CF, они равны. Следовательно, AE = FD и ∠A = ∠D. Из параллельности оснований следует, что односторонние углы при каждой боковой стороне supplementary: ∠A + ∠B = 180° и ∠D + ∠C = 180°. Поэтому из ∠A = ∠D получаем ∠B = ∠C.

б) Рассмотрим треугольники BAD и CDA. В них AB = CD, AD — общая сторона, а ∠BAD = ∠CDA по пункту а). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие диагонали BD и AC равны.

Итак, углы при каждом основании равны, а диагонали равны.