192. Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD ∥ BC.

а) Углы при основании равны. Предположим, что ∠A = ∠D. Опустим перпендикуляры BE и CF из вершин B и C на AD. Так как BC ∥ AD, четырёхугольник EBCF — прямоугольник, поэтому BE = CF и EF = BC. Прямоугольные треугольники ABE и DCF имеют равные острые углы (их углы при A и D соответственно дополняют равные углы трапеции до 90°) и равные катеты BE = CF. Следовательно, треугольники равны и AB = CD. Значит, трапеция равнобедренная.

б) Диагонали равны. Обозначим длины оснований AD = d, BC = c, высоту трапеции — h, а горизонтальную проекцию AB — x. Тогда можно задать вершины координатами A(0, 0), D(d, 0), B(x, h), C(x + c, h). Из равенства диагоналей AC = BD следует: (x + c)² + h² = (d − x)² + h², откуда x + c = d − x. Поэтому d − x − c = x. Тогда AB² = x² + h², а CD² = (d − x − c)² + h² = x² + h². Значит, AB = CD, то есть трапеция равнобедренная.