192. 1) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-3x^2+1}{x^3+4x^2+2x}$; 2) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-5x+4}{x^2+2x+3}$; 3) $\lim_{x\to\infty}\frac{x^5+x^6}{x^3+x^4}$; 4) $\lim_{x\to\infty}\frac{x^4-x^3+1}{x^3+2x^2+x}$; 5) $\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-x}-x)$; 6) $\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+5x}-x)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 192. 1) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-3x^2+1}{x^3+4x^2+2x}$; 2) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-5x+4}{x^2+2x+3}$; 3)…$ Фото задания

192. 1) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-3x^2+1}{x^3+4x^2+2x}$; 2) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-5x+4}{x^2+2x+3}$; 3) $\lim_{x\to\infty}\frac{x^5+x^6}{x^3+x^4}$; 4) $\lim_{x\to\infty}\frac{x^4-x^3+1}{x^3+2x^2+x}$; 5) $\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-x}-x)$; 6) $\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+5x}-x)$.

Accepted Answer

Делим на $x^3$: \[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2-3/x+1/x^3}{1+4/x+2/x^2}=2.\]
Делим на $x^2$: \[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3-5/x+4/x^2}{1+2/x+3/x^2}=3.\]
Старшие члены дают $\frac{x^6}{x^4}=x^2$, поэтому предел равен $+\infty$.
Старшие члены дают $\frac{x^4}{x^3}=x$, поэтому предел равен $+\infty$.
Домножим на сопряжённое выражение: \[\sqrt{x^2-x}-x=\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}=\frac{-1}{\sqrt{1-1/x}+1}.\] Следовательно, предел равен $-\frac12$.
\[\sqrt{x^2+5x}-x=\frac{5x}{\sqrt{x^2+5x}+x}=\frac5{\sqrt{1+5/x}+1}.\] Следовательно, предел равен $\frac52$.

Ответ: 1) 2; 2) 3; 3) +∞; 4) +∞; 5) $-\frac12$; 6) $\frac52$.