193. 1) $\lim_{x\to\pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}$; 2) $\lim_{x\to\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{ g x-1}$; 3) $\lim_{x\to0}\frac{ g x}{\sqrt{1- g x}-1}$; 4) $\lim_{x\to0}\frac{3x}{\sin 2x}$; 5) $\lim_{x\to0}\frac{\sin^3 3x}{x^3}$; 6) $\(\lim$_{x$\to$0}$\frac{\sin^3 x}{[числовые данные обрезаны]}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 193. 1) $\lim_{x\to\pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}$; 2) $\lim_{x\to\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{ g x-1}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

\[\frac{\sin^2x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}=1-\cos x.\] Поэтому предел равен $1-\cos\pi=2$.
Так как $\sin x-\cos x=\cos x( g x-1)$, получаем \[\lim\limits_{x\to\pi/4}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.\]
Домножим на сопряжённое выражение: \[\frac{ g x}{\sqrt{1- g x}-1}=\frac{ g x(\sqrt{1- g x}+1)}{- g x}=-(\sqrt{1- g x}+1).\] Предел равен $-2$.
\[\frac{3x}{\sin2x}=3\cdot\frac{x}{2x}\cdot\frac{2x}{\sin2x}\to\frac32.\]
\[\frac{\sin^3 3x}{x^3}=27\left(\frac{\sin3x}{3x}\right)^3\to27.\]
Знаменатель шестого выражения обрезан на фотографии, поэтому его значение невозможно определить однозначно. Пришлите нижнюю часть изображения целиком.

Ответ: 1) 2; 2) $\frac{\sqrt2}{2}$; 3) −2; 4) $\frac32$; 5) 27; 6) недостаточно данных.