Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Пусть первый член прогрессии равен \(b_1=a\), а знаменатель — \(q\). Используем формулу \(b_n=aq^{n-1}\) и сумму \(S=\frac{a}{1-q}\).
1)
\[b_3=aq^2=18,\qquad b_5=aq^4=2.\]
Делим второе равенство на первое:
\[q^2=\frac{2}{18}=\frac19,\qquad q=\pm\frac13.\]
Тогда:
\[a=\frac{18}{q^2}=18\cdot9=162.\]
При \(q=\frac13\):
\[S=\frac{162}{1-\frac13}=243.\]
При \(q=-\frac13\):
\[S=\frac{162}{1+\frac13}=\frac{243}{2}.\]
2)
Поскольку \(b_2=aq\), \(b_4=aq^3\), а \(b_3=aq^2\), имеем:
\[b_2b_4=(aq)(aq^3)=a^2q^4=(aq^2)^2=b_3^2.\]
Следовательно, \(b_3^2=16\), то есть \(b_3=\pm4\). Из условия \(b_3+b_5=6\) отрицательное значение невозможно, поэтому \(b_3=4\).
\[4+4q^2=6,\qquad q^2=\frac12,\qquad q=\pm\frac{1}{\sqrt2}.\]
Найдём первый член:
\[a=\frac{b_3}{q^2}=\frac4{\frac12}=8.\]
При \(q=\frac1{\sqrt2}\):
\[S=\frac8{1-\frac1{\sqrt2}}=16+8\sqrt2.\]
При \(q=-\frac1{\sqrt2}\):
\[S=\frac8{1+\frac1{\sqrt2}}=16-8\sqrt2.\]
Ответ: 1) \(243\) или \(\frac{243}{2}\); 2) \(16+8\sqrt2\) или \(16-8\sqrt2\).
