197. В коробке 3 красных, 3 белых и 3 чёрных шара, одинаковые на ощупь. Из коробки вынимают наугад n шаров. Рассмотрим следующее событие А: среди вынутых шаров окажутся шары всех трёх цветов. При каких значениях n событие А — невозможное, а при каких — достоверное?

Решение:

Давайте разберёмся, что происходит.

У нас в коробке:

• 3 красных (К)
• 3 белых (Б)
• 3 чёрных (Ч)

Всего шаров: 3 + 3 + 3 = 9.

Мы вынимаем n шаров.

Событие А: Среди вынутых шаров окажутся шары всех трёх цветов (красный, белый и чёрный).

Когда событие А — невозможное?

Событие будет невозможным, если мы никак не сможем вынуть шары всех трёх цветов, сколько бы шаров мы ни вынимали (в пределах разумного, конечно).

Чтобы событие А произошло, нам нужно вынуть хотя бы по одному шару каждого цвета. Минимальное количество шаров, которое нам нужно вынуть, чтобы иметь шанс получить все три цвета — это 3 (например, 1К, 1Б, 1Ч).

Если мы вынем меньше 3 шаров (то есть n = 1 или n = 2), то мы не сможем получить шары всех трёх цветов. Мы можем вынуть максимум два разных цвета.

Пример: если n=2, мы можем вынуть 2 красных, или 1 красный и 1 белый, но не 1К, 1Б, 1Ч.

Следовательно, событие А — невозможное, когда n < 3.

Когда событие А — достоверное?

Событие будет достоверным, если оно обязательно произойдёт при любом раскладе, сколько бы шаров мы ни вынимали (в разумных пределах).

Чтобы событие А стало достоверным, нужно вынуть столько шаров, чтобы гарантированно захватить все цвета. Подумаем о самом неблагоприятном случае:

Представим, что нам очень «не везёт», и мы сначала вынимаем все шары одного цвета, потом все шары другого цвета. Максимальное количество шаров двух цветов, которое мы можем вынуть — это 3 красных + 3 белых = 6 шаров. В этом случае мы ещё не вынем ни одного чёрного шара.

Но как только мы вынем следующий шар (7-й), он обязательно будет чёрного цвета, потому что красные и белые шары уже закончились. В этот момент у нас точно будут шары всех трёх цветов!

Значит, если мы вынимаем 7 или больше шаров (n ≥ 7), событие А — достоверное.

Ответ:

• Событие А — невозможное при n < 3 (то есть при n = 1 или n = 2).
• Событие А — достоверное при n ≥ 7.