199. Докажите: а) Если натуральное число делится на 7, то оно не может при делении на 28 давать остаток 9. б) Если натуральное число при делении на 64 даёт остаток 31, то оно не делится на 8.

а) Пусть натуральное число делится на 7. Тогда оно имеет вид 7k. При делении на 28 остаток числа 7k может быть только одним из чисел 0, 7, 14, 21, поскольку число и делитель кратны 7. Числа 9 среди этих остатков нет.

Следовательно, число, делящееся на 7, не может при делении на 28 давать остаток 9.

б) Если число при делении на 64 даёт остаток 31, оно имеет вид 64k + 31. Число 64k делится на 8, а 31 при делении на 8 даёт остаток 7. Значит, исходное число при делении на 8 также даёт остаток 7, а не 0.

Следовательно, оно не делится на 8.