1А.8 (МФТИ, 1947, билет 1, задача 1). Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей угол уклона к горизонту α. Он упал на склон на расстоянии L от места броска. С какой скоростью был брошен камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Пусть камень бросили горизонтально со скоростью \(v_0\), а расстояние \(L\) измерено вдоль склона. Тогда горизонтальное и вертикальное смещения до точки падения равны соответственно \(L\cos\alpha\) и \(L\sin\alpha\).

1. По горизонтали: \(L\cos\alpha=v_0t\).

2. По вертикали камень падает на величину \(L\sin\alpha\): \(L\sin\alpha=\frac{gt^2}{2}\), откуда \(t=\sqrt{\frac{2L\sin\alpha}{g}}\).

3. Подставляем время в горизонтальное уравнение: \(v_0=\frac{L\cos\alpha}{t}=\cos\alpha\sqrt{\frac{gL}{2\sin\alpha}}\).

Ответ: \(v_0=\cos\alpha\sqrt{\frac{gL}{2\sin\alpha}}\).