2. (1 б) Порівняйте числа \( \sqrt[4]{57} \) і \( 5^{\frac{7}{5}} \)

Решение:

Сравним числа \( \sqrt[4]{57} \) и \( 5^{\frac{7}{5}} \). Для этого приведем их к одному показателю степени или основанию. Проще привести к одному показателю степени.

1. Выразим \( \sqrt[4]{57} \) как степень: \( \sqrt[4]{57} = 57^{\frac{1}{4}} \).
2. Представим \( 5^{\frac{7}{5}} \) как \( (5^7)^{\frac{1}{5}} \).
3. Чтобы сравнить \( 57^{\frac{1}{4}} \) и \( 5^{\frac{7}{5}} \), приведем показатели степеней к общему знаменателю 20: \( \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \) и \( \frac{7}{5} = \frac{28}{20} \).
4. Теперь сравним \( 57^{\frac{5}{20}} \) и \( 5^{\frac{28}{20}} \).
5. Это эквивалентно сравнению \( (57^5)^{\frac{1}{20}} \) и \( (5^{28})^{\frac{1}{20}} \).
6. Сравним основания: \( 57^5 \) и \( 5^{28} \).
7. \( 57^5 \) - это число, меньшее чем \( 60^5 = (6 \times 10)^5 = 6^5 \times 10^5 = 7776 \times 100000 = 777 600 000 \).
8. \( 5^{28} = (5^2)^{14} = 25^{14} \). Также \( 5^{28} = (5^4)^7 = 625^7 \).
9. Попробуем оценить \( 5^{28} \): \( 5^{28} = 5^{10} \times 5^{10} \times 5^8 \). \( 5^{10} = (5^5)^2 = 3125^2 \approx (3 \times 10^3)^2 = 9 \times 10^6 \). \( 5^{28} \) будет значительно больше \( 57^5 \).
10. Проще сравнить, приведя к общему показателю степени, но с другим подходом: \( \sqrt[4]{57} = (57)^{\frac{1}{4}} \) и \( 5^{\frac{7}{5}} = (5^7)^{\frac{1}{5}} \).
11. Возведем оба числа в 20-ю степень (общий знаменатель для 4 и 5): \( (\sqrt[4]{57})^{20} = 57^5 \) и \( (5^{\frac{7}{5}})^{20} = 5^{28} \).
12. Сравним \( 57^5 \) и \( 5^{28} \). \( 57^5 \) приблизительно \( (60)^5 = 6^5 \times 10^5 = 7776 \times 100000 = 777 600 000 \).
13. \( 5^{28} = (5^2)^{14} = 25^{14} \). \( 25^2 = 625 \). \( 25^3 = 15625 \). \( 25^{14} = (25^3)^4 \times 25^2 \approx (1.5 \times 10^4)^4 \times 625 \approx (5 \times 10^{16}) \times 625 \approx 3 \times 10^{19} \).
14. Очевидно, что \( 5^{28} \) намного больше \( 57^5 \).
15. Значит, \( 5^{\frac{7}{5}} > \sqrt[4]{57} \).

Ответ: \( \sqrt[4]{57} < 5^{\frac{7}{5}} \).