2.1. Высота цилиндра равна 5 см, диагональ осевого сечения составляет угол 45° с плоскостью основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Пусть высота цилиндра \( h = 5 \) см, а диагональ осевого сечения \( d \). Диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра, диаметром основания и диагональю осевого сечения. В этом треугольнике высота \( h \) является катетом, противолежащим углу 45°, а диаметр основания \( D \) — другим катетом. Диагональ \( d \) — гипотенуза.

Из условия задачи, угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен 45°.

В прямоугольном треугольнике: \( \tan(45^\circ) = \frac{h}{D} \)

Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), то \( h = D \).

Значит, диаметр основания \( D = h = 5 \) см.

Радиус основания \( r = \frac{D}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \( S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \)

Подставим известные значения:

\( S_{полн} = 2 \pi (2.5) (5) + 2 \pi (2.5)^2 \)

\( S_{полн} = 25 \pi + 2 \pi (6.25) \)

\( S_{полн} = 25 \pi + 12.5 \pi \)

\( S_{полн} = 37.5 \pi \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна \( 37.5 \pi \) см².