3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону, если полупериметр прямоугольника 12 см и угол между диагоналями 60°.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Полупериметр прямоугольника равен \( p = a + b \).

По условию \( a + b = 12 \) см.

Угол между диагоналями равен 60°.

Площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением прямоугольника вокруг одной из сторон, равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Если вращать вокруг стороны \( a \), то высота цилиндра будет \( a \), а радиус основания — \( b \). Тогда площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 2 \pi b a \).

Рассмотрим прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим половину диагонали как \( d/2 \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника \( a, b \) и диагональю \( d \). По теореме Пифагора \( d^2 = a^2 + b^2 \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной \( a \). Угол при вершине, где пересекаются диагонали, равен 60°. Этот треугольник равнобедренный, так как боковые стороны — это половины диагонали \( d/2 \). Если угол между диагоналями 60°, то этот треугольник равносторонний, и его сторона равна \( a \).

Следовательно, \( a = d/2 \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной \( b \). Угол при вершине, где пересекаются диагонали, будет \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). Если провести высоту из вершины \( 120^\circ \) к основанию \( b \), то она разделит угол пополам \( 60^\circ \) и основание \( b \) пополам \( b/2 \). В получившемся прямоугольном треугольнике имеем:

\( \frac{b}{2} = \frac{d}{2} \times \tan(60^\circ) \) — это неверно, так как \( \frac{d}{2} \) — гипотенуза.

Правильно: \( \frac{b}{2} = \frac{d}{2} \times \tan(60^\circ) \) — это для другого угла.

В равнобедренном треугольнике с углом 120° при вершине, опустим высоту на основание \( b \). Эта высота делит угол 120° пополам (60°) и основание \( b \) пополам. Тогда в прямоугольном треугольнике:

\( \frac{b}{2} = \frac{d}{2} \times \tan(60^\circ) \) — это неправильно.

В прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали (гипотенуза), высотой и половиной стороны \( b \):

\( \frac{b}{2} = \frac{d}{2} \times \text{sin}(60^\circ) \) — это если угол у основания. Нам известен угол при вершине.

В равнобедренном треугольнике с углом \( 120^\circ \) и боковыми сторонами \( d/2 \):

\( b = 2 \times (\frac{d}{2} \times \text{sin}(120^\circ / 2)) \) = \( d \times \text{sin}(60^\circ) \) = \( d \times \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Рассмотрим треугольник со сторонами \( a \) и \( b \) и диагональю \( d \). Угол между диагоналями 60°. Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( a \) и половинами диагоналей. Он равносторонний, так как \( a = d/2 \) и углы при основании равны 60°.

Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( b \) и половинами диагоналей. Угол при вершине \( 120^\circ \).

Из \( a = d/2 \) и \( d^2 = a^2 + b^2 \):

\( (2a)^2 = a^2 + b^2 \)

\( 4a^2 = a^2 + b^2 \)

\( 3a^2 = b^2 \)

\( b = a\sqrt{3} \).

Теперь используем полупериметр: \( a + b = 12 \)

\( a + a\sqrt{3} = 12 \)

\( a(1 + \sqrt{3}) = 12 \)

\( a = \frac{12}{1 + \sqrt{3}} = \frac{12( \sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{2} = 6(\sqrt{3} - 1) \) см.

\( b = a\sqrt{3} = 6(\sqrt{3} - 1)\sqrt{3} = 6(3 - \sqrt{3}) \) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( S_{бок} = 2 \pi ab \).

\( S_{бок} = 2 \pi \times 6(\sqrt{3} - 1) \times 6(3 - \sqrt{3}) \)

\( S_{бок} = 72 \pi (3\sqrt{3} - 3 - 3 + \sqrt{3}) \)

\( S_{бок} = 72 \pi (4\sqrt{3} - 6) \)

\( S_{бок} = 144 \pi (2\sqrt{3} - 3) \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( 144 \pi (2\sqrt{3} - 3) \) см².