2) 14.31. Примените формулы сокращённого умножения и решите уравнение: а) (x + 7)² = x(x + 7) − 1; б) 16x² − (4x − 1)² = 5x − 1; в) (x − 1)² − 7x = 15 + (x − 3)²; г) (x − 4)² − (x − 8)² = 32; д) (3x − 1)² − 9(1 + x)² = 2; е) (2x − 3)(x − 1) − 2(x + 5)² = x − 3; ж) (1 − 4x)(1 + 4x) = 4 − 4(2x − 1)². Рекомендую сделать все оставшиеся (а) мы сделали.

Решим оставшиеся уравнения б)–ж), используя раскрытие скобок и формулы сокращённого умножения.

б) \(16x^2-(4x-1)^2=5x-1\).

По формуле разности квадратов \((4x-1)^2=16x^2-8x+1\), значит \(8x-1=5x-1\). Тогда \(3x=0\), откуда \(x=0\).

в) Раскрываем квадраты: \(x^2-2x+1-7x=15+x^2-6x+9\).

Сокращаем \(x^2\): \(-9x+1=-6x+24\). Тогда \(-3x=23\), откуда \(x=-\frac{23}{3}\).

г) Применяем разность квадратов:

\((x-4)^2-(x-8)^2=((x-4)-(x-8))((x-4)+(x-8))\).

Получаем \(4(2x-12)=32\), то есть \(8x-48=32\). Следовательно, \(x=10\).

д) Записываем \(9(1+x)^2=(3x+3)^2\) и применяем разность квадратов:

\(((3x-1)-(3x+3))((3x-1)+(3x+3))=2\).

\(-4(6x+2)=2\), откуда \(-24x=10\) и \(x=-\frac{5}{12}\).

е) Раскрываем скобки:

\(2x^2-5x+3-2(x^2+10x+25)=x-3\).

После приведения подобных членов: \(-25x-47=x-3\). Значит, \(-26x=44\), откуда \(x=-\frac{22}{13}\).

ж) По формулам разности квадратов и квадрата разности:

\((1-4x)(1+4x)=1-16x^2\), а \(4-4(2x-1)^2=4-4(4x^2-4x+1)=-16x^2+16x\).

Поэтому \(1-16x^2=-16x^2+16x\), откуда \(x=\frac{1}{16}\).

Ответ: б) \(0\); в) \(-\frac{23}{3}\); г) \(10\); д) \(-\frac{5}{12}\); е) \(-\frac{22}{13}\); ж) \(\frac{1}{16}\).