2.14. Решите уравнение: 1) $6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot7^{x-2}$; 2) $5^x-2\cdot5^{x-1}=3^{x+1}-2\cdot3^{x-2}$; 3) $2^{\sqrt{x}+1}-3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}-1}-2^{\sqrt{x}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.14. Решите уравнение: 1) $6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot7^{x-2}$; 2) $5^x-2\cdot5^{x-1}=3^{x+1}-2\cdot3^{x-2}$; 3)…$ Фото задания

2.14. Решите уравнение: 1) $6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot7^{x-2}$; 2) $5^x-2\cdot5^{x-1}=3^{x+1}-2\cdot3^{x-2}$; 3) $2^{\sqrt{x}+1}-3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}-1}-2^{\sqrt{x}}$.

Accepted Answer

1) Вынесем степени за скобки:

$6^{x-2}(36+6-1)=7^{x-2}(49-8)$.

$41\cdot6^{x-2}=41\cdot7^{x-2}$, поэтому $6^{x-2}=7^{x-2}$, откуда $x-2=0$.

Ответ: $x=2$.

2) $5^{x-1}(5-2)=3^{x-2}(27-2)$.

$3\cdot5^{x-1}=25\cdot3^{x-2}$, то есть $\left(\frac{5}{3}\right)^{x-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^2$.

Следовательно, $x-1=2$, поэтому $x=3$.

Ответ: $x=3$.

3) Обозначим $t=\sqrt{x}$, где $t\geq0$. Тогда

$2\cdot2^t-3^t=\frac13\cdot3^t-\frac12\cdot2^t$.

$\frac52\cdot2^t=\frac43\cdot3^t$, поэтому $\left(\frac32\right)^t=\frac{15}{8}$.

$t=\log_{\frac32}\frac{15}{8}$, следовательно,

Ответ: $x=\left(\log_{\frac32}\frac{15}{8}\right)^2$.

2.14. Решите уравнение: 1) \(6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot7^{x-2}\); 2) \(5^x-2\cdot5^{x-1}=3^{x+1}-2\cdot3^{x-2}\); 3) \(2^{\sqrt{x}+1}-3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}-1}-2^{\sqrt{x}}\).

Ответ: