2.15. Решите уравнение: 1) \(27^{\frac2x}-2\cdot3^{\frac{x+3}{x}}-27=0\); 2) \(\sqrt[3]{49^x}-50\sqrt[3]{7^{x-3}}+1=0\); 3) \(2^{\sqrt{x+1}}=3\cdot2^{2-\sqrt{x+1}}+1\); 4) \(3^{\sqrt{x-5}}+3^{2-\sqrt{x-5}}=6\); 5) \(5\cdot2^{\cos^2x}-2^{\sin^2x}=3\); 6) \(4^{\cos2x}+4^{\cos^2x}=3\); 7) \(4^{ g^2x}+2^{\frac1{\cos^2x}}-80=0\).

1) Пусть \(a=3^{1/x}>0\). Тогда \(27^{2/x}=a^6\), а \(3^{(x+3)/x}=3a^3\). Получаем:

\(a^6-6a^3-27=0\).

Пусть \(y=a^3\). Тогда \(y^2-6y-27=0\), откуда \(y=9\) или \(y=-3\). Так как \(y>0\), \(a^3=9=3^2\), поэтому \(\frac3x=2\).

Ответ: \(x=\frac32\).

2) Пусть \(t=7^{x/3}>0\). Тогда \(\sqrt[3]{49^x}=t^2\), а \(\sqrt[3]{7^{x-3}}=\frac{t}{7}\).

\(t^2-\frac{50}{7}t+1=0\), или \(7t^2-50t+7=0\).

Корни: \(t=7\) и \(t=\frac17\). Следовательно, \(x=3\) или \(x=-3\).

Ответ: \(x\in\{-3;3\}\).

3) Пусть \(t=2^{\sqrt{x+1}}\). Тогда \(t\geq1\), и

\(t=\frac{12}{t}+1\), то есть \(t^2-t-12=0\).

Положительный корень: \(t=4\). Поэтому \(2^{\sqrt{x+1}}=2^2\), \(\sqrt{x+1}=2\), откуда \(x=3\).

Ответ: \(x=3\).

4) Пусть \(t=3^{\sqrt{x-5}}\). Тогда \(t\geq1\), и

\(t+\frac9t=6\), откуда \(t^2-6t+9=0\), то есть \(t=3\).

Следовательно, \(\sqrt{x-5}=1\), поэтому \(x=6\).

Ответ: \(x=6\).

5) Пусть \(y=2^{\cos^2x}\). Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), то \(2^{\sin^2x}=\frac2y\).

\(5y-\frac2y=3\), или \(5y^2-3y-2=0\). Положительный корень: \(y=1\).

Значит, \(\cos^2x=0\), поэтому

Ответ: \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

6) Обозначим \(y=4^{\cos^2x}\). Так как \(\cos2x=2\cos^2x-1\), то \(4^{\cos2x}=\frac{y^2}{4}\).

\(\frac{y^2}{4}+y=3\), откуда \(y^2+4y-12=0\). Положительный корень: \(y=2\).

Тогда \(4^{\cos^2x}=2\), значит \(\cos^2x=\frac12\).

Ответ: \(x=\frac\pi4+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\).

7) Пусть \(y=\frac1{\cos^2x}\). Тогда \( g^2x=y-1\), и

\(2^{2y-2}+2^y=80\).

Положим \(z=2^{y-2}\). Получаем \(z^2+4z=80\), откуда \(z=8\). Следовательно, \(y=5\), то есть \(\cos^2x=\frac15\).

Ответ: \(x=\pi k\pm\arccos\frac1{\sqrt5},\ k\in\mathbb Z\).