2.16. Решите уравнение: 1) $8^{\frac2x}-2^{\frac{2x+3}{x}}-32=0$; 2) $5^{\sqrt{x-2}}-5^{1-\sqrt{x-2}}-4=0$; 3) $2^{\cos2x}-3\cdot2^{\cos^2x}+4=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.16. Решите уравнение: 1) $8^{\frac2x}-2^{\frac{2x+3}{x}}-32=0$; 2) $5^{\sqrt{x-2}}-5^{1-\sqrt{x-2}}-4=0$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Пусть $a=2^{1/x}>0$. Тогда $8^{2/x}=a^6$, а $2^{(2x+3)/x}=4a^3$.

$a^6-4a^3-32=0$.

Пусть $y=a^3$. Тогда $y^2-4y-32=0$, откуда $y=8$ или $y=-4$. Так как $y>0$, $a^3=8$, значит $a=2$.

Следовательно, $2^{1/x}=2$, поэтому $x=1$.

Ответ: $x=1$.

2) Пусть $t=5^{\sqrt{x-2}}$, тогда $t\geq1$, а $5^{1-\sqrt{x-2}}=\frac5t$.

$t-\frac5t=4$, поэтому $t^2-4t-5=0$.

Положительный корень: $t=5$. Значит, $\sqrt{x-2}=1$, откуда $x=3$.

Ответ: $x=3$.

3) Пусть $y=2^{\cos^2x}$. Так как $\cos2x=2\cos^2x-1$, имеем $2^{\cos2x}=\frac{y^2}{2}$.

$\frac{y^2}{2}-3y+4=0$, или $y^2-6y+8=0$.

Отсюда $y=2$ или $y=4$.

Если $y=2$, то $\cos^2x=\frac12$, поэтому $x=\frac\pi4+\frac{\pi k}{2}$.

Если $y=4$, то $\cos^2x=1$, поэтому $x=\pi k$.

Ответ: $x=\frac\pi4+\frac{\pi k}{2}$ или $x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$.

2.16. Решите уравнение: 1) \(8^{\frac2x}-2^{\frac{2x+3}{x}}-32=0\); 2) \(5^{\sqrt{x-2}}-5^{1-\sqrt{x-2}}-4=0\); 3) \(2^{\cos2x}-3\cdot2^{\cos^2x}+4=0\).