2. (№16) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, значит, сумма противоположных углов равна 180°.
• Угол ADC = 180° - угол ABC = 180° - 38° = 142°.
• Угол ABD и угол ACD опираются на одну дугу AD. Следовательно, угол ABD = угол ACD.
• Угол CAD = 33°.
• Угол BCD = угол BCA + угол ACD.
• Угол BCD + угол BAD = 180°.
• Угол BAD = угол BAC + угол CAD = угол BAC + 33°.
• Угол ABC = 38°.
• В треугольнике ABC: угол BAC + угол ABC + угол BCA = 180°.
• Угол BAC + 38° + угол BCA = 180°.
• Угол CAD = 33°.
• Угол CBD и угол CAD опираются на одну дугу CD. Следовательно, угол CBD = угол CAD = 33°.
• В треугольнике ABC: угол BAC + угол BCA + 38° = 180°.
• Рассмотрим треугольник ABD. Угол ADB + угол DAB + угол ABD = 180°.
• Угол ADB — это угол ADC, но он равен 142°, что неверно. Угол ADC — это угол четырёхугольника.
• Угол ABD опирается на дугу AD. Угол ACD также опирается на дугу AD. Значит, угол ABD = угол ACD.
• Рассмотрим треугольник BCD. Угол CBD = 33°. Угол BDC + угол DBC + угол BCD = 180°.
• Угол BCD = 180° - угол BAD.
• Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD = угол BAC + угол CAD.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол ABD опирается на дугу AD, значит, угол ABD = угол ACD.
• Угол CBD опирается на дугу CD, значит, угол CBD = угол CAD = 33°.
• Угол BAC опирается на дугу BC. Угол BDC опирается на дугу BC. Значит, угол BAC = угол BDC.
• В четырёхугольнике ABCD: угол ABC = 38°, угол CAD = 33°.
• Угол ABD = ?
• Угол ABD и угол ACD опираются на одну дугу AD.
• Угол CBD и угол CAD опираются на одну дугу CD.
• Значит, угол CBD = угол CAD = 33°.
• Угол ABC = угол ABD + угол CBD.
• 38° = угол ABD + 33°.
• Угол ABD = 38° - 33° = 5°.

Ответ: 5°