2.2. Решите неравенство: \(\log_{0.5}(x^2-2x-8)\ge -2\).

Так как основание \(0.5\) находится между 0 и 1, логарифмическая функция убывает. С учётом области определения неравенство равносильно системе: \(0<x^2-2x-8\le (0.5)^{-2}=4\).

Первое условие: \(x^2-2x-8>0\), то есть \((x-4)(x+2)>0\). Отсюда \(x<-2\) или \(x>4\).

Второе условие: \(x^2-2x-8\le4\), то есть \(x^2-2x-12\le0\). Корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(1-\sqrt{13}\) и \(1+\sqrt{13}\), поэтому \(x\in[1-\sqrt{13};1+\sqrt{13}]\).

Пересекаем полученные множества: \([1-\sqrt{13};-2)\cup(4;1+\sqrt{13}]\). Нули аргумента исключены, а точки, где аргумент равен 4, включены.

Ответ: \([1-\sqrt{13};-2)\cup(4;1+\sqrt{13}]\).