2.2. Решите неравенство: \(\log_2(x^2-2x-8)\geq -2\).

ОДЗ: \(x^2-2x-8>0\).

Так как основание логарифма \(2>1\), неравенство равносильно:

\[x^2-2x-8\geq 2^{-2}=\frac14.\]

Перенесём всё в левую часть:

\[x^2-2x-\frac{33}{4}\geq 0.\]

Корни квадратного трёхчлена:

\[x=\frac{2\pm\sqrt{4+33}}{2}=1\pm\frac{\sqrt{37}}{2}.\]

Следовательно,

\[x\leq 1-\frac{\sqrt{37}}{2}\quad\text{или}\quad x\geq 1+\frac{\sqrt{37}}{2}.\]

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, поскольку полученное условие даёт аргумент логарифма не меньше \(\frac14\), а нужно лишь положительное значение.

Ответ: \(\left(-\infty;1-\frac{\sqrt{37}}{2}\right]\cup\left[1+\frac{\sqrt{37}}{2};+\infty\right)\).