2.23 Решите неравенства: а) \((x-1)^2(x^2+4x-12)<0\); б) \((x+2)(x^2-6x-16)>0\); в) \((x+3)^2(x^2-10x+21)\ge0\); г) \((x-1)(x^2-7x+6)\ge0\).

а) Разложим квадратный трёхчлен: \(x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\). Получаем \((x-1)^2(x+6)(x-2)<0\). Квадрат положителен, кроме точки \(x=1\), где выражение равно нулю. Произведение \((x+6)(x-2)\) отрицательно между корнями.

Ответ: \((-6;1)\cup(1;2)\).

б) Разложим: \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\). Тогда \((x+2)^2(x-8)>0\). Квадрат положителен при \(x\ne-2\), поэтому нужно \(x>8\).

Ответ: \((8; +\infty)\).

в) Разложим: \(x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\). Множитель \((x+3)^2\) неотрицателен; выражение равно нулю при \(x=-3\), а также при \(x=3,7\). Между 3 и 7 произведение двух линейных множителей отрицательно, вне этого интервала — неотрицательно.

Ответ: \((-\infty;3]\cup\{ -3\}\cup[7; +\infty)\).

г) Разложим: \(x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\). Получаем \((x-1)^2(x-6)\ge0\). Квадрат неотрицателен, поэтому условие выполняется при \(x\ge6\), а также при \(x=1\), где выражение равно нулю.

Ответ: \(\{1\}\cup[6; +\infty)\).