Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2.24 Решите неравенства: а) \((x^2+4x+4)(6x-x^2+7)<0\); б) \((x+3)^3(3x-2-x^2)\ge0\); в) \((x^2-6x+9)(6-5x-x^2)>0\); г)…Фото задания

Ответ:

а) Разложим множители: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), \(6x-x^2+7=-(x-7)(x+1)\). Неравенство равносильно \((x+2)^2(x-7)(x+1)>0\). Квадрат положителен при \(x\ne-2\), а \((x-7)(x+1)>0\) при \(x<-1\) или \(x>7\). Исключаем точку \(-2\), где выражение равно нулю.

Ответ: \((-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup(7; +\infty)\).

б) Разложим: \(3x-2-x^2=-(x-1)(x-2)\). Корни выражения: \(-3\) (кратность 3), 1 и 2. Знаки на промежутках чередуются при каждом корне нечётной кратности; наибольшая степень даёт отрицательный знак справа от 2. С учётом нулей условие выполняется на \((-\infty;-3]\) и \([1;2]\).

Ответ: \((-\infty;-3]\cup[1;2]\).

в) Разложим: \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), \(6-5x-x^2=-(x+6)(x-1)\). Неравенство требует \((x-3)^2(x+6)(x-1)<0\). Квадрат положителен, кроме \(x=3\); произведение линейных множителей отрицательно при \(-6

Ответ: \((-6;1)\).

г) Разложим: \(7x-x^2-10=-(x-2)(x-5)\). Корни: 2, 4 (кратность 3) и 5. Знак выражения отрицателен на \((-\infty;2)\), \((4;5)\) и положителен на \((2;4)\), \((5;+\infty)\). Нули включаются из-за знака \(\le0\).

Ответ: \((-\infty;2]\cup[4;5]\).