2.3) Профессор Злобин не хочет ставить положительную оценку студенту Разгуляеву и задаёт ему вопросы до тех пор, пока на очередном вопросе студент не ошибётся. Вероятность правильного ответа на любой вопрос составляет 0,8. Случайная величина X равна числу вопросов, на которые правильно ответит студент, перед тем, как получит двойку. Найдите закон распределения случайной величины X.

Случайная величина \(X\) — число правильных ответов до первого неправильного. Поэтому \(X\) может принимать значения \(0,1,2,\ldots\). Для значения \(k\) нужно дать подряд \(k\) правильных ответов, а затем ошибиться. Вероятность ошибки равна \(1-0.8=0.2\).

Следовательно, закон распределения:

\[P(X=k)=0.8^k\cdot 0.2,\qquad k=0,1,2,\ldots\]

Первые вероятности: \(P(X=0)=0.2\), \(P(X=1)=0.16\), \(P(X=2)=0.128\), \(P(X=3)=0.1024\), и далее по той же формуле. Сумма вероятностей равна \(0.2\sum_{k=0}^{\infty}0.8^k=0.2/(1-0.8)=1\).

Ответ: \(P(X=k)=0.2\cdot0.8^k\) при \(k=0,1,2,\ldots\).