2.31 Существуют ли среди точек A, B, C и D точки, координаты которых простые (рис. 2.1), если p — простое число?

По рисунку координаты точек выражаются через p так: A = p − 1, B = p + 1, C = 2p, D = 3p.

Так как p — простое число, p ≥ 2. Числа C = 2p и D = 3p составные. Число B = p + 1 — чётное и больше 2, поэтому оно тоже составное. Для A = p − 1 возможен простой результат: при p = 3 получаем A = 2. В остальных случаях A либо равно 1 (если p = 2), либо является чётным числом больше 2.

Ответ: да, точка A может иметь простую координату; это происходит при p = 3, когда её координата равна 2.