2.45. Развёртка поверхности. Найдите кратчайший путь на поверхности куба (рис. 2.2) из точки K в точку L: а) который проходит через точку M; б) который пересекает все горизонтальные рёбра куба, кроме ребра KL.

На рисунке точка M расположена над K, а L — на противоположном нижнем ребре. Для точного численного ответа нужна длина ребра куба; обозначим её через a. Развёртка поверхности превращает каждый искомый путь в отрезок, поэтому его длину находим по теореме Пифагора.

а) Развернём две смежные грани, чтобы путь K–M–L стал прямой. В развёртке горизонтальное смещение от K до L равно a, а вертикальное — 2a. Поэтому длина пути равна √(a² + (2a)²) = a√5.

б) Путь должен пересечь три горизонтальных ребра, отличных от KL: верхнее переднее, верхнее заднее и нижнее заднее. На развёртке четырёх граней соответствующий прямой отрезок имеет смещения 3a по горизонтали и a по вертикали. Его длина равна √((3a)² + a²) = a√10.

Ответ: а) a√5; б) a√10. Численные значения нельзя указать без длины ребра куба.