2.49. Решите уравнение, используя замену неизвестного: в) $(x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0$; ж) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{6x-6}{x+1}-5=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.49. Решите уравнение, используя замену неизвестного: в) $(x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0$; ж)…$ Фото задания

Accepted Answer

в) Сделаем замену $t=(x-1)^2$. Так как $x^2-2x=(x-1)^2-1=t-1$, уравнение принимает вид:

$(t-1)^2-2t-1=0$,
$t^2-4t=0$,
$t(t-4)=0$.

Отсюда $t=0$ или $t=4$. Возвращаемся к замене: $(x-1)^2=0$, откуда $x=1$; либо $(x-1)^2=4$, откуда $x=-1$ или $x=3$.

Ответ: $x\in\{-1,1,3\}$.

ж) Область допустимых значений: $x\ne1$, $x\ne-1$. Сделаем замену $t=\frac{x+1}{x-1}$. Тогда $\frac{6x-6}{x+1}=\frac{6}{t}$, и уравнение становится:

$t+\frac{6}{t}-5=0$,
$t^2-5t+6=0$,
$(t-2)(t-3)=0$.

Если $t=2$, то $\frac{x+1}{x-1}=2$, откуда $x=3$. Если $t=3$, то $\frac{x+1}{x-1}=3$, откуда $x=2$. Оба значения допустимы.

Ответ: $x\in\{2,3\}$.

2.49. Решите уравнение, используя замену неизвестного: в) \((x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0\); ж) \(\frac{x+1}{x-1}+\frac{6x-6}{x+1}-5=0\).