2.53. Решите уравнение: а) x³ + 6x² + 11x + 6 = 0; б) x³ + 2x² − 5x − 6 = 0; в) x³ − 2x − 4 = 0; г) x³ − 6x − 9 = 0; д) x⁴ + x³ + 5x² + 4x + 4 = 0; е) x⁵ + 3x³ + 2x = 0.

а) Разложим многочлен на множители:
\(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)\).
Следовательно, \(x=-1,-2,-3\).

б) \(x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x+1)(x+3)\).
Корни: \(x=2,-1,-3\).

в) \(x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)\).
В действительных числах квадратный множитель корней не имеет, поэтому \(x=2\). Комплексные корни: \(x=-1\pm i\).

г) \(x^3-6x-9=(x-3)(x^2+3x+3)\).
Действительный корень: \(x=3\). Комплексные корни: \(x=\frac{-3\pm i\sqrt3}{2}\).

д) \(x^4+x^3+5x^2+4x+4=(x^2+x+1)(x^2+4)\).
Действительных корней нет. Комплексные корни: \(x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2},\ x=\pm2i\).

е) \(x^5+3x^3+2x=x(x^2+1)(x^2+2)\).
Действительный корень: \(x=0\). Комплексные корни: \(x=\pm i,\ x=\pm i\sqrt2\).

Ответ: а) \(-3,-2,-1\); б) \(-3,-1,2\); в) \(2\); г) \(3\); д) действительных корней нет; е) \(0\).