2.54. Решите уравнения: а) 2x³ − x² − 2x + 1 = 0; б) 3x³ − x² − 12x + 4 = 0; в) 3x⁴ − 3x³ + 4x² − x + 1 = 0; г) x⁴ − 4x³ + 12x − 9 = 0; д) 2x⁴ + 2x³ + 5x² + x + 2 = 0; е) x⁴ − 3x³ + 6x − 4 = 0.

Группируем слагаемые: \(2x^3-x^2-2x+1=x^2(2x-1)-(2x-1)=(2x-1)(x^2-1)=(2x-1)(x-1)(x+1)\). Корни: \(x=\frac12,1,-1\).

\(3x^3-x^2-12x+4=x^2(3x-1)-4(3x-1)=(3x-1)(x-2)(x+2)\). Корни: \(x=\frac13,2,-2\).

Рассмотрим квадратный трёхчлен \(3x^4-3x^3+4x^2-x+1\). Его можно представить как \(3x^2(x-\frac12)^2+\frac{13}{4}x^2-x+1\). Второе слагаемое положительно при всех действительных \(x\): его дискриминант равен \(1-13=-12<0\), а старший коэффициент положителен. Значит, левая часть положительна и действительных корней нет.

Проверяем корень \(x=1\) и делим на \(x-1\): \(x^4-4x^3+12x-9=(x-1)(x^3-3x^2-3x+9)=(x-1)(x-3)(x^2-3)\). Корни: \(x=1,3,\sqrt3,-\sqrt3\).

Представим выражение в виде суммы положительных слагаемых: \(2x^4+2x^3+5x^2+x+2=2(x^2+\frac{x}{2})^2+\frac{9}{2}(x+\frac19)^2+\frac{35}{18}\). Оно больше нуля при любом действительном \(x\), поэтому действительных корней нет.

Разложение: \(x^4-3x^3+6x-4=(x-1)(x-2)(x^2+1)\). Так как \(x^2+1\) не обращается в ноль на действительных числах, корни: \(x=1,2\).