2.55. Решите уравнения: а) (x³ − 6x² + 11x − 6)/(x − 2) = 0; б) (x³ − 7x + 6)/(x² + x − 6) = 0; в) (2x³ − 3x² − 11x + 6)/(2x³ − x² + 2x − 1) = 0; г) (3x³ + 4x² − 5x − 2)/(3x³ + 4x² − 5x + 2) = 0.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель раскладывается: \(x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)\). Учитываем ограничение \(x\ne2\). Из корней числителя исключаем \(2\), получаем \(x=1,3\).

2. \(x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)\), а \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\). Запрещены значения \(x=-3,2\), поэтому из корней числителя остаётся \(x=1\).

3. \(2x^3-3x^2-11x+6=(x-3)(2x-1)(x+2)\). Знаменатель \(2x^3-x^2+2x-1=(2x-1)(x^2+1)\), поэтому запрещено \(x=\frac12\). Действительные корни числителя: \(3,\frac12,-2\); после исключения получаем \(x=3,-2\).

4. Числитель: \(3x^3+4x^2-5x-2=(x+2)(3x^2-2x-1)=(x+2)(3x+1)(x-1)\). Знаменатель не равен нулю при действительных корнях числителя: подстановка \(x=-2,-\frac13,1\) даёт соответственно \(12,\frac{32}{9},4\). Значит, все корни числителя подходят: \(x=-2,-\frac13,1\).