2.54. Тең қабырғалы үшбұрыштың: 1) барлық бұрыштары тең; 2) барлық медианалары өзара тең болатынын дәлелдеңдер.

ABC тең қабырғалы үшбұрышы болсын, яғни AB = BC = CA.

1) Бұрыштарының теңдігі. AB = BC болғандықтан, теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеті бойынша ∠A = ∠C. BC = CA болғандықтан, ∠A = ∠B. Демек, ∠A = ∠B = ∠C. Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы 180° болғандықтан, олардың әрқайсысы 60°.

2) Медианаларының теңдігі. A, B, C төбелерінен жүргізілген медианаларды тиісінше AM, BN, CP деп белгілейік. Үшбұрыш тең болғандықтан, оның төбелерін алмастыратын симметриялар қабырғалардың орталары мен медианаларды да бір-біріне бейнелейді. Сондықтан медианалардың ұзындықтары тең: AM = BN = CP.

Мұны тең үшбұрыштар арқылы да көрсетуге болады: AM және BN медианалары болғандықтан, M мен N сәйкес қабырғалардың орталары. Демек, AB = BC, AM = BN — медианалардың сәйкес бөліктері ретінде симметриялы тең, әрі ∠BAM = ∠CBN = 30°. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша ΔABM = ΔBCN, сондықтан AM = BN. Дәл осылай басқа жұп медианалар үшін де дәлелденеді.