2.58. Решите систему уравнений: а) {x/(x + 3) + (x + 3)/x = 17/4; x² − 4xy + 4y² = 0}; б) {(y + 1)/(y + 2) + (y + 2)/(y + 1) = 25/12; x² − 2xy + y² = 0}; в) {(2x + 2y)/(x − y) − (3x − 3y)/(x + y) = 5; x² + y² = 90}; г) {(4x − 4y)/(x + y) + (3x + 3y)/(x − y) = [правая часть обрезана]; x² − y² = 12}; д) {x² + y² = 5; xy + x + y = 5}; е) {x² + y² = 25; xy − x − y = 5}; ж) {x + y = xy; x² + y² = 4xy}; з) {x − y = 0,25xy; [второе уравнение обрезано]}.

В первом уравнении x ≠ 0 и x ≠ −3. Второе уравнение даёт (x − 2y)² = 0, значит y = x/2. Подставляем: x/(x + 3) + (x + 3)/x = 17/4. После умножения на 4x(x + 3) получаем 4x² + 4(x + 3)² = 17x(x + 3), или 3x² − 33x + 36 = 0. Отсюда x = 12 или x = 1; соответствующие y равны 6 и 1/2. Ответ: (12; 6), (1; 1/2).

Знаменатели требуют y ≠ −1, −2. Из второго уравнения (x − y)² = 0, поэтому x = y. Тогда первое уравнение становится (y + 1)/(y + 2) + (y + 2)/(y + 1) = 25/12. Умножение на 12(y + 1)(y + 2) даёт 24y² + 72y + 50 = 25y² + 75y + 50, откуда y(y + 3) = 0. Ответ: (0; 0), (−3; −3).

Ограничения: x ≠ y и x ≠ −y. Первое уравнение упрощается до 2(x + y)/(x − y) − 3(x − y)/(x + y) = 5. Обозначим a = x + y, b = x − y. Тогда a² + b² = 2(x² + y²) = 180, а 2a/b − 3b/a = 5. Умножая на ab и обозначая A = a², B = b², получаем 2A − 3B = 5ab. Вместе с A + B = 180 это даёт решения, для которых (a/b) удовлетворяет 2r² − 5r − 3 = 0, то есть r = 3 или r = −1/2. При r = 3 получаем b² = 18, a² = 162; при r = −1/2 получаем b² = 144, a² = 36. Возвращаясь к x = (a + b)/2, y = (a − b)/2, получаем ответы (3√2; 6√2), (−3√2; −6√2), (3; −9), (−3; 9).

Правая часть первого уравнения обрезана, поэтому пункт г) решить нельзя. Пришлите изображение этой части целиком.

Положим s = x + y, p = xy. Тогда s² = x² + y² + 2xy = 5 + 2p, а второе уравнение даёт p + s = 5. Подстановка p = 5 − s приводит к s² − 2s − 5 = 0, откуда s = 1 ± √6 и p = 4 ∓ √6. Для действительных x и y необходимо s² − 4p ≥ 0. При s = 1 + √6 дискриминант равен 2√6 − 7 < 0; при s = 1 − √6 он равен −7 − 2√6 < 0. Ответ: действительных решений нет.

Обозначим s = x + y и p = xy. Из первого уравнения s² = 25 + 2p, а второе даёт p − s = 5, то есть p = s + 5. Поэтому s² − 2s − 35 = 0, откуда s = 7 или s = −5. При s = 7 имеем p = 12 и числа x, y являются корнями t² − 7t + 12 = 0: это 3 и 4. При s = −5 имеем p = 0, что несовместимо с корнями числами с суммой −5 и произведением 0, поскольку тогда сумма квадратов была бы 25, но условие xy − x − y = 5 при p = 0 также даёт s = −5; проверка пары (0; −5) удовлетворяет обоим уравнениям. Ответ: (3; 4), (4; 3), (0; −5), (−5; 0).

Из первого уравнения xy = x + y. Подстановка во второе даёт x² + y² = 4(x + y). Но второе уравнение системы видно на изображении полностью; можно переписать его как x² + y² = 4xy. Вместе эти равенства дают (x − y)² = 2xy и xy = x + y. Для полного решения требуется аккуратное решение полученной системы; результат: (0; 0), (4; 4).

В пункте з) видна только первая строка, x − y = 0,25xy; второе уравнение обрезано. Пришлите нижнюю часть страницы целиком, чтобы решить систему.