2.7 На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{u} \) и \( \vec{m} \). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{u} - 2\vec{m} \) и \( 3\vec{u} + \vec{m} \).

Решение:

Определим координаты векторов по графику:

• Вектор \( \vec{u} \) начинается в точке \( (0,0) \) и заканчивается в точке \( (-1, 2) \). Следовательно, \( \vec{u} = (-1; 2) \).
• Вектор \( \vec{m} \) начинается в точке \( (0,0) \) и заканчивается в точке \( (2, 1) \). Следовательно, \( \vec{m} = (2; 1) \).

Найдем координаты векторов \( \vec{a} = \vec{u} - 2\vec{m} \) и \( \vec{b} = 3\vec{u} + \vec{m} \).

• \( \vec{a} = \vec{u} - 2\vec{m} = (-1; 2) - 2(2; 1) = (-1; 2) - (4; 2) = (-1 - 4; 2 - 2) = (-5; 0) \)
• \( \vec{b} = 3\vec{u} + \vec{m} = 3(-1; 2) + (2; 1) = (-3; 6) + (2; 1) = (-3 + 2; 6 + 1) = (-1; 7) \)

Скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

Подставим координаты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-5) \cdot (-1) + 0 \cdot 7 = 5 + 0 = 5 \]

Ответ: 5