3.1 Через среднюю линию основания прямой треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Решение:

Пусть исходная треугольная призма имеет основание \( \triangle ABC \) и боковое ребро \( H \). Площадь боковой поверхности исходной призмы \( S_{исх} = P_{осн} \cdot H \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.

Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Это означает, что отсечённая призма подобна исходной, а её основание является средней линией основания исходной призмы. Пусть основание отсечённой призмы — \( \triangle A'B'C' \).

Так как \( \triangle A'B'C' \) является средней линией \( \triangle ABC \), то периметр \( P_{A'B'C'} = \frac{1}{2} P_{ABC} \).

Площадь боковой поверхности отсечённой призмы \( S_{отсч} = P_{A'B'C'} \cdot H \).

По условию \( S_{отсч} = 12 \).

Следовательно, \( \frac{1}{2} P_{ABC} \cdot H = 12 \).

Площадь боковой поверхности исходной призмы \( S_{исх} = P_{ABC} \cdot H \).

Из уравнения \( \frac{1}{2} P_{ABC} \cdot H = 12 \) следует, что \( P_{ABC} \cdot H = 12 \cdot 2 = 24 \).

Таким образом, \( S_{исх} = 24 \).

Ответ: 24