2. а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. б) Вычислите площадь четырёхугольника, если его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, AC = 10 см, BD = 12 см.

а) Диагонали AC и BD пересекаются в некоторой точке O.

Прямые AC и BD пересекаются, поэтому через них проходит единственная плоскость. Точки A и C лежат на прямой AC, а точки B и D — на прямой BD. Следовательно, все вершины четырёхугольника ABCD принадлежат одной плоскости.

б) Площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними вычисляется по формуле:

\[S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot\sin\alpha.\]

Так как диагонали взаимно перпендикулярны, \(\alpha=90^\circ\), поэтому \(\sin90^\circ=1\).

\[S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12=60\text{ см}^2.\]

Ответ: а) все вершины лежат в одной плоскости; б) \(60\text{ см}^2\).