Дан треугольник ABC, E ∈ AB, K ∈ BC, BE : BA = BK : BC = 2 : 5. Через прямую AC проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. а) Докажите, что EK ∥ α. б) Найдите длину отрезка AC, если EK = 4 см.

а) Из условий следует:

\[\frac{BE}{BA}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{5}.\]

Точки E и K делят стороны AB и BC в одинаковом отношении, считая от вершины B. Поэтому по обратной теореме о пропорциональных отрезках:

\[EK\parallel AC.\]

Прямая AC лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая EK параллельна AC и не лежит в плоскости \(\alpha\), поскольку плоскость \(\alpha\) не совпадает с плоскостью треугольника ABC. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости:

\[EK\parallel\alpha.\]

б) Из подобия треугольников BEK и BAC:

\[\frac{EK}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{2}{5}.\]

Подставим \(EK=4\) см:

\[\frac{4}{AC}=\frac{2}{5},\qquad AC=\frac{4\cdot5}{2}=10\text{ см}.\]

Ответ: а) \(EK\parallel\alpha\); б) \(AC=10\) см.