2. а) Найдите первые три слагаемых в биномиальном разложении при возрастании степени z и запишите коэффициент при z: 1) \((4+z)^6\); 2) \((2-z)^6\). б) Используя результаты предыдущих действий, найдите коэффициент при z в биномиальном разложении \([(4+z)(2-z)]^6\).

а) По биному Ньютона выписываем слагаемые с возрастающими степенями \(z\).

1. \((4+z)^6=4^6+6\cdot4^5z+15\cdot4^4z^2+\ldots=4096+6144z+3840z^2+\ldots\). Коэффициент при \(z\) равен \(6144\).
2. \((2-z)^6=2^6-6\cdot2^5z+15\cdot2^4z^2+\ldots=64-192z+240z^2+\ldots\). Коэффициент при \(z\) равен \(-192\).

б) Сначала перемножим выражения в скобках: \((4+z)(2-z)=8-2z-z^2\). В шестой степени член с \(z\) может возникнуть только при выборе \(-2z\) из одного множителя и \(8\) из пяти остальных:

\(6\cdot(-2z)\cdot8^5=-12\cdot32768z=-393216z\).

Ответ: коэффициент при \(z\) равен \(-393216\).