2. а) Определите, является ли число 3 корнем многочлена \(P(x)=x^5-4x^4+7x^2+11x-15\). б) Найдите остаток от деления многочлена \(-8x^3+14x^2+3x\) на двучлен \(-4x+1\).

а) Подставим \(x=3\):

\(P(3)=3^5-4\cdot3^4+7\cdot3^2+11\cdot3-15=243-324+63+33-15=0\).

Так как значение многочлена равно нулю, число 3 является его корнем.

б) По теореме об остатке корень двучлена \(-4x+1\) равен \(x=\frac14\). Тогда остаток:

\(f\left(\frac14\right)=-8\left(\frac14\right)^3+14\left(\frac14\right)^2+3\cdot\frac14=-\frac18+\frac78+\frac34=\frac32\).

Ответ: а) да; б) остаток равен \(\frac32\).