2. ABCD — квадрат, O — точка пересечения диагоналей, P — середина CD. \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\). Выразить через векторы \(\vec x\) и \(\vec y\): \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{PA}\).

Примем точку B за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), а по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

1. O — середина диагонали BD, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).
3. Так как P — середина CD, \(\overrightarrow{BP}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\frac12(\vec y+\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\vec y\). Следовательно, \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\); \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\); \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).